Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.
Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:
\[{{34}^{2}}=\times \frac{34}{\frac{34}{+\frac{136}{\frac{102}{1156}}}}\]
1156 — это и есть квадрат 34.
Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:
1) он требует письменного оформления;
2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.
Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.
Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:
\[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\]
\[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\]
Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.
Например, 28 можно представить в следующем виде:
\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end{align}\]
Аналогично представляем оставшиеся примеры:
\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end{align}\]
Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.
Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:
\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 30-2 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 80-3 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 30-4 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 40-1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\\end{align}\]
Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.
Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.
Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
И так со всеми числами, отличающимися на единицу.
Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:
\[\begin{align}& {{26}^{2}}=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end{align}\]
При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.
Ключевые моменты
С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!
Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:
\[\begin{align}& {{10}^{2}}=100,{{20}^{2}}=400,{{30}^{2}}=900,..., \\& {{80}^{2}}=6400,{{90}^{2}}=8100. \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{34}^{2}}={{(30+4)}^{2}}={{30}^{2}}+2\cdot 30\cdot 4+{{4}^{2}}= \\& =900+240+16=1156; \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{27}^{2}}={{(30-3)}^{2}}={{30}^{2}}-2\cdot 30\cdot 3+{{3}^{2}}= \\& =900-180+9=729. \\\end{align}\]
Как считать еще быстрее
Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:
\[\begin{align}& {{14}^{2}}={{15}^{2}}-14-15= \\& =225-29=196. \\\end{align}\]
Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:
\[\begin{align}& {{31}^{2}}={{30}^{2}}+30+31= \\& =900+61=961. \\\end{align}\]
Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:
\[\begin{align}& {{(n-1)}^{2}}=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1)= \\& =={{n}^{2}}-n-(n-1) \\\end{align}\]
— это и есть формула.
\[\begin{align}& {{(n+1)}^{2}}=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1)= \\& ={{n}^{2}}+n+(n+1) \\\end{align}\]
— аналогичная формула для чисел, больших на 1.
Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!
Как известно, площадь прямоугольника вычисляется перемножением длин двух его различных сторон. У квадрата все стороны равны, поэтому нужно перемножить сторону саму на себя. Отсюда и возникло выражение "возвести в квадрат". Пожалуй, самый простой способ возвести любое число в квадрат – взять обычный калькулятор и перемножить нужное число само на себя. Если под рукой нет калькулятора – можно использовать встроенный калькулятор в мобильном телефоне. Для более продвинутых пользователей можно посоветовать воспользоваться приложением Office Microsoft Excel, особенно, если подобные вычисления нужно проводить достаточно часто. Для этого необходимо выделить произвольную ячейку, например G7, и вписать в нее формулу =F7*F7. Далее в ячейку F7 ввести любое число, а в ячейке G7 получить результат.
Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 5. Для возведения в квадрат этого числа нужно отбросить последнюю цифру числа. Полученное число необходимо перемножить с числом на 1 большим. Затем нужно дописать число 25 справа после полученного результата. Пример. Пусть требуется получить квадрат числа 35. После того, как будет отброшена последняя цифра 5, остается число 3. Добавляется 1- получается число 4.3х4=12. Дописывается 25 и получается результат 1225. 35х35=3*4 дописать 25=1225.
Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 6. Этот алгоритм подойдет для тех, кто разобрался с вопросом, как возвести в квадрат число, оканчивающиеся на цифру 5. Как известно из математики, квадрат двучлена можно рассчитать по формуле (А+В) х(А+В) =АхА+2хАхВ + ВхВ. В случае с возведением в квадрат числа A, последняя цифра которого 6, это число можно предтставить как А=В+1, где В - число, которое на 1 меньше числа А, поэтому его последняя цифра - 5. В этом случае формулу можно представить в более простом виде (В+1) х(B+1) =ВхВ+2хВх1+1х1=ВхВ + 2хВ+1. Пусть для примера это число будет 16. Решение 16 х16=15 х15+2х15 х1+1х1=225+30+1=256Устное правило: для того, чтобы найти квадрат числа, заканчивающегося на 6: нужно предыдущее число возвести в квадрат, добавить два раза предыдущее число и добавить 1.
Как возвести в квадрат числа от 11 до 29. Для возведения в квадрат чисел от 11 до 19, нужно к исходному числу добавить число единиц, получившийся результат умножить на 10 и приписать справа возведенное в квадрат число единиц. Пример. Возвести в квадрат 13. Число единиц в этом числе – 3. Далеетребуется вычислить промежуточное число 13+3=16. Затем умножить его на 10. Получается 160. Квадрат числа единиц 3х3=9. Итоговый результат 169. Для чисел третьего десятка применяется аналогичный алгоритм, только умножать нужно на 20 и квадрат единиц прибавлять, а не приписывать. Пример. Вычислить квадрат числа 24. Находится число единиц – 4. Вычисляется промежуточное число – 24+4=28. После умножения на 20 получается 560. Квадрат числа единиц 4х4=16. Итоговый результат 560+16=576.
Как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Алгоритм достаточно прост. Сначала нужно найти, насколько данное число больше или меньше середины диапазона числа 50. К полученному результату добавить (если число больше 50) или вычесть (если число меньше 50) 25. Полученную сумму (или разность) умножить на 100. К полученному результату добавить квадрат разности между числом, квадрат которого нужно найти, и числом 50. Пример: нужно найти квадрат числа 46. Разность 50-46=4.5-4=1.1х100=0.4х4=6.0+16=2116. Итог: 46х46=2116.
Еще один прием как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Для того, чтобы вычислить квадрат числа от 40 до 49, необходимо число единиц увеличить на 15, полученный результат умножить на 100, справа от него приписать квадрат разности между последней цифрой заданного числа и 10. Пример. Вычислить квадрат числа 42. Число единиц этого числа - 2. Добавляется 15: 2+15=17. Находится разность этого же числа единиц и 10. Она равна 8. Возводится в квадрат: 8х8=64. Число 64 приписывается справа к предыдущему результату 17. Получается итоговое число 1764. Если число находится в диапазоне от 51 до 59, то для возведения его в квадрат используется тот же алгоритм, только к числу единиц нужно прибавлять 25.
Как возводить в квадрат в уме любое двузначное число. Если человек знает, как возводить в квадрат однозначные числа, другими словами - знает таблицу умножения, то у него не возникнет проблем при вычислении квадратов двузначных чисел. Пример. Нужно возвести двузначное число 36 в квадрат. Это число умножается на количество своих десятков. 36х3=8. Далее нужно найти произведение цифр числа: 3х6=18. Затем сложить оба результата. 108+18=126. Следующий шаг: нужно возвести в квадрат единицы исходного числа: 6х6=36. В полученном произведении определяется количество десятков – 3 и добавляется к предыдущему результату: 126+3=129. И последний шаг. Справа от полученного результата приписывается количество единиц исходного числа, в данном примере - 6. Конечный результат – число 1296.
Существует множество способов как возводить в квадрат различные числа. Некоторые из приведенных алгоритмов достаточно простые, некоторые – достаочно громоздкие и на первый взгляд непонятные. Многими из них люди пользуются веками. Каждый человек может сам разработать свои собственные более понятные и интересные алгоритмы. Но если есть проблемы с устным счетом или возникли другие трудности – придется привлечь технические средства.
Мы привыкли думать, что возведение дома - это длительный и дорогостоящий процесс. Иногда он растягивается на годы, превращаясь в долгострой, выкачивающий все средства из семейного бюджета. Об этом мы рассказывали в материале, . Но в жизни бывают ситуации, когда построить дом надо быстро и за минимальную сумму.
Кажется, что это или невозможно, или придётся серьёзно поступиться качеством возводимого сооружения. Но на нашем портале есть масса примеров, когда начинающие застройщики опровергали это утверждение. Главное - обстоятельно подойти к делу, подготовить все для постройки дома и выбрать правильную и посильную для себя технологию строительства.
Из этой статьи вы узнаете:
- Какие новые материалы для дома и новые технологии чаще всего используют для быстрого строительства загородного дома.
- Дома из разных материалов, построенные в короткие сроки.
- Материал для строительства дома в короткие сроки.
- Из чего класть стены дома. Как быстро построить каменный дом.
- Какую же стену выбрать для индивидуального дома. Почему так популярно возведение домов по каркасной технологии.
- Постройка дома из современных материалов. Почему строительство из СИП-панелей упрощает возведение коттеджа.
- В чём заключаются плюсы свайно-винтового фундамента и технологии несъёмной опалубки.
- Какие принципы ускоряют возведение строения.
Материал для строительства дома - что выбрать
Возведение загородного коттеджа, долговечного отвечающего всем строительным нормам, должно начинаться с тщательно разработанного плана. Необходимо заранее просчитать смету, выбрать технологию возведения и лучший строительный материал для строительства дома. Также следует учитывать климатические условия места, где будет вестись строительство, и свойства грунта. Только после сбора всех необходимых данных можно выбрать наиболее рациональные, быстрые и экономически выгодные способы строительства.
Материал для стен дома. Что выбрать - дерево, панели или класть из камня.
Причём, данный принцип вдвойне важен при необходимости быстрого возведения постройки, т.к. любая ошибка или заминка приведёт к срыву сроков строительства. Если рассмотреть общие принципы выбора технологии для ускоренного возведения строения, то отправной точкой является гарантированное качество материалов, строго заданная геометрия, простота и технологичность при их монтаже, а также доступность.
Отсюда, для быстрой кладки материал для стен дома выбираем заводского изготовления. Технические характеристики должны гарантированно отвечать заявленным требованиям. Попытка сэкономить и использовать разные кустарно произведённые материалы т.н. гаражного изготовления - лотерея, без гарантий получения качественного результата.
Строительство дома - выбор материала для самостройщиков и строительных фирм
Если планируется выбрать самый долговечный материал и быстро построить полный достоинства каменный дом, то следует использовать крупноформатные блоки с чёткой геометрией, хорошо поддающиеся механической обработке (пилению, штроблению, сверлению) на строительной площадке. Такой материал проще и быстрее класть.
Дерево как материал стен для частного особняка или дачного дома выбирают поклонники каркасной технологии. В этом случае на первое место выходит простота работы, а значит - высокая скорость строительства, минимизация использования строительной техники (т.к. поставить деревянный каркас можно даже в одиночку), широкая доступность и то, что древесина достаточно дешевый материал.
Если каркасное строительство - выбор самостройщиков, планирующих в максимально сжатые сроки индивидуально поставить коробку дома, то долговечные крупноформатные панели заводского изготовления (СИП и т.д.) предпочитают использовать застройщики, возводящие постройку при помощи строительных компаний.
У каждого из этих способов есть свои разные особенности, но об этом – чуть позже.
Особенности быстрого строительства каменного дома
Опыт пользователей FORUMHOUSE говорит о том, что путь к «быстрому дому» у каждого свой, но можно выделить несколько ключевых моментов, общих для всех индивидуальных застройщиков. В первую очередь - это отсутствие собственного жилья, дороговизна квадратных метров в новостройках и нежелание выбрасывать деньги на ветер, беря квартиру в аренду.
Владимир Егоров (ник Bobahina) Пользователь FORUMHOUSE
Семья у меня молодая - я, жена и двое маленьких детей. Своего жилья нет, поэтому пришлось жить на съёмных квартирах. Я как-то посчитал, что за 5 лет «кочевой» жизни мы потратили на аренду (фактически подарили «дяде») 1 млн руб. Поэтому после очередного переезда я принял твёрдое решение - хватит скитаться, надо обзаводиться собственным углом.
Сведя дебит с кредитом, Владимир рассчитал, что, взяв в кредит 1-1.5 млн руб., выгоднее построить дом, а не вкладываться в ипотеку. После того, как большое решение было принято, осталось выбрать технологию строительства, которая позволит с «0» быстро возвести коттедж, готовый для переезда семьи. Проанализировав, «сколько стоит дом построить», Владимир решил разбить стройку на несколько этапов и выбрать материал для несущих стен, который оптимально подойдёт для самостоятельного строительства.
Забегая вперёд, скажем, что нашему пользователю удалось осуществить свою мечту: в максимально сжатые сроки возвести дом размером 10х7.5 м и подготовить первый этаж под ПМЖ. Причём, в качестве строительного материала был выбран газобетон. Стоит отметить, что земельный участок Владимиру предоставил его отец, что стало одним из решающих факторов успеха этой стройки.
Также заметим, что каменный дом был фактически построен силами одного человека за 6 месяцев. В случае использования наёмного труда - бригады из нескольких человек, эти сроки можно было сократить в 2-3 раза, но при увеличении стоимости возводимой конструкции. Поэтому, задумав быстрое строительство, всегда приходится идти на компромисс: скорость/смета, а также выбирать - строить полностью самостоятельно (для этого нужно время) или работать и всё это время контролировать стройку.
Высокой скорости возведения дома способствует наличие всех видов необходимых коммуникаций на участке - свет и вода, а также грамотное планирование каждого строительного этапа и выбор современной технологии.
Строя каменный дом, надо постараться свести к минимуму «мокрые» процессы и оптимизировать все технологические этапы.
Каркасная технология строительства
Современный строительный опыт говорит о том, что значительно ускорить процесс строительства можно, используя отработанную технологию, уже прошедшую обкатку временем. При условии, что это решение эффективно для конкретного региона проживания. Т.е. выбранный материал для стен распространён в местности, где вы проживаете, и не является дефицитом, а строительные бригады знают, как с ним работать и уже «набили руку». В этом случае, при должном контроле, можно гарантировать получение качественного результата.
В случае, если нужно возвести дом быстро и не разориться, многие застройщики выбирают возведение домов по каркасной технологии строительства, как наиболее рациональной для самостроя.
Ufonru Пользователь FORUMHOUSE
У меня есть участок в 6 соток в СНТ под Питером. Решил построить на нём дом. Осталось выбрать технологию, чтобы можно было строить одному в свободное время, быстро и качественно. Причём уложиться в 400 тыс. руб.
В итоге перелопачивания информации Ufonru остановил свой выбор на «каркасниках». Нашему пользователю удалось в одиночку, за 80 дней, построить тёплый дом стоимостью в 350 тыс. руб, с мансардой и чистовой отделкой, размером 6х10 м.
В плюсы «каркасников» можно записать: возможность вести практически круглогодичное строительство, материал предусматривает минимум «мокрых» процессов (требующих времени и хороших погодных условий), отработанность технологии и высокую скорость строительства.
Надо сразу сказать, что Ufonru обстоятельно подошёл к делу. Для минимизации отходов габариты дома были рассчитаны, исходя из размеров плит ОСП, досок, гипсокартона, утеплителя и т.д. Это позволило использовать всю их полезную площадь, без остатков и сэкономить время на раскрое материала .
В качестве фундамента был выбран мелкозаглубленный ленточный фундамент, причём для опалубки выбрали доски размером 100х50 мм, которые затем все до одной пошли на стойки каркаса и обвязку без последующего подрезания. А это дополнительная скорость и экономия материалов.
Используя принцип оптимизации, только цену фундамента под этот дом удалось снизить до 65 тыс. руб.
Нюансы строительства дома из СИП-панелей и сроки возведения свайно-винтового фундамента
В погоне за скоростью возведения коттеджа многие начинающие застройщики наивно полагают, что дом – это коробка из стен со вставленными окнами и дверьми. На самом деле - это не так. Жить в доме можно при наличии минимума коммуникаций - т.н. инженерки. Это - электричество, канализация и вода.
Посмотрите, как самостоятельно, за полгода, построить газобетонный дом под ПМЖ . Из нашего видео вы также узнаете о
Умение считать в уме квадраты чисел может пригодиться в разных жизненных ситуациях, например, для быстрой оценки инвестиционных сделок, для подсчета площадей и объемов, а также во многих других случаях. Кроме того, умение считать квадраты в уме может служить демонстрацией ваших интеллектуальных способностей. В данной статье разобраны методики и алгоритмы, позволяющие научиться этому навыку.
Квадрат суммы и квадрат разности
Одним из самых простых способов возведения двузначных чисел в квадрат является методика, основанная на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности:
Для использования этого метода необходимо разложить двузначное число на сумму числа кратного 10 и числа меньше 10. Например:
- 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
- 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836
Практически все методики возведения в квадрат (которые описаны ниже) основываются на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Эти формулы позволили выделить ряд алгоритмов упрощающих возведение в квадрат в некоторых частных случаях.
Квадрат близкий к известному квадрату
Если число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме:
На 1 больше:
Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.
- 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
- 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256
На 1 меньше:
Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.
- 19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
- 24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576
На 2 больше
Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.
- 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
- 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729
На 2 меньше
Методика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше.
- 48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
- 98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604
Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше).
Квадрат чисел, заканчивающихся на 5
Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.
- 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
- 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
- 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225
Это верно и для более сложных примеров:
- 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025
Квадрат чисел близких к 50
Считать квадрат чисел, которые находятся в диапазоне от 40 до 60 , можно очень простым способом. Алгоритм таков: к 25 прибавляем (или вычитаем) столько, насколько число больше (или меньше) 50. Умножаем эту сумму (или разность) на 100. К этому произведению добавляем квадрат разности числа, возводимого в квадрат, и пятидесяти. Посмотрите работу алгоритма на примерах:
- 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
- 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809
Квадрат трехзначных чисел
Возведение в квадрат трехзначных чисел может быть осуществлено при помощи одной из формул сокращенного умножения:
Нельзя сказать, что этот способ является удобным для устного счета, но в особо сложных случаях его можно взять на вооружение:
436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096
Тренировка
Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.
Возведение в квадрат трехзначных чисел - впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполняется его округление в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.
Путем ок ругления 193 до 200 (второй сомножитель стал равным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 х 186 - это всего лишь 2 х 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 7 2 = 49 и получить ответ - 37 249.
Попробуем возвести в квадрат 706.
При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изменить это же число на 6 в большую сторону для получения 712.
Так как 712 х 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 х 700 = = 498 400. Прибавив 6 2 = 36, получаем 498 436.
Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 6 2 и 7 2 . Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 единиц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 314 2 .
В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради округления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 х 3 = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно приходит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложите 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596.
Если вам нужно время для подсчета 14 2 , повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вычислить 14 2 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.
Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечатлить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи.
Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.
Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли?
Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное - суммировать 1296 + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трехзначными значительно упростятся.
Вот еще более сложный пример: 863 2 .
Первая проблема - надо решить, какие числа перемножать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое - больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.
1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.
2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.
Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа имеют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна равняться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.
Затем проводим следующие вычисления.
Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведения в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих главах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоминать такие числа.
Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче - на возведении в квадрат числа 359.
Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 х 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 х 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец!
Завершим этот раздел большой, но легкой задачей: вычислим 987 2 .
УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2
5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2
9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2
Что за дверью номер 1?
Математической банальностью 1991 года, которая поставила всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант - женщины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Книге рекордов Гиннесса) - в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем.
Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сделки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими - козы. Допустим, вы выбираете дверь № 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой дверью, Монти открывает дверь № 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь № 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Монти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая - с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли?
А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз окажется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что вероятности в сумме должны давать 1.
Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Поразмышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего первого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» дверей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл не знает, где главный приз, и открывает дверь № 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь № 1 с вероятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математике. Конечно, все эти люди были неправы.