Одним из наиболее частых математических действий, применяемых в инженерных и других вычислениях, является возведение числа во вторую степень, которую по-другому называют квадратной. Например, данным способом рассчитывается площадь объекта или фигуры. К сожалению, в программе Excel нет отдельного инструмента, который возводил бы заданное число именно в квадрат. Тем не менее, эту операцию можно выполнить, использовав те же инструменты, которые применяются для возведения в любую другую степень. Давайте выясним, как их следует использовать для вычисления квадрата от заданного числа.
Как известно, квадрат числа вычисляется его умножением на самого себя. Данные принципы, естественно, лежат в основе вычисления указанного показателя и в Excel. В этой программе возвести число в квадрат можно двумя способами: использовав знак возведения в степень для формул «^» и применив функцию СТЕПЕНЬ . Рассмотрим алгоритм применения данных вариантов на практике, чтобы оценить, какой из них лучше.
Способ 1: возведение с помощью формулы
Прежде всего, рассмотрим самый простой и часто используемый способ возведения во вторую степень в Excel, который предполагает использование формулы с символом «^» . При этом, в качестве объекта, который будет возведен в квадрат, можно использовать число или ссылку на ячейку, где данное числовое значение расположено.
Общий вид формулы для возведения в квадрат следующий:
В ней вместо «n» нужно подставить конкретное число, которое следует возвести в квадрат.
Посмотрим, как это работает на конкретных примерах. Для начала возведем в квадрат число, которое будет составной частью формулы.
Теперь давайте посмотрим, как возвести в квадрат значение, которое расположено в другой ячейке.
Способ 2: использование функции СТЕПЕНЬ
Также для возведения числа в квадрат можно использовать встроенную функцию Excel СТЕПЕНЬ . Данный оператор входит в категорию математических функций и его задачей является возведение определенного числового значения в указанную степень. Синтаксис у функции следующий:
СТЕПЕНЬ(число;степень)
Аргумент «Число» может представлять собой конкретное число или ссылку на элемент листа, где оно расположено.
Аргумент «Степень» указывает на степень, в которую нужно возвести число. Так как перед нами поставлен вопрос возведения в квадрат, то в нашем случае данный аргумент будет равен 2 .
Теперь посмотрим на конкретном примере, как производится возведение в квадрат с помощью оператора СТЕПЕНЬ .
Также для решения поставленной задачи вместо числа в виде аргумента можно использовать ссылку на ячейку, в которой оно расположено.
Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.
Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:
\[{{34}^{2}}=\times \frac{34}{\frac{34}{+\frac{136}{\frac{102}{1156}}}}\]
1156 — это и есть квадрат 34.
Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:
1) он требует письменного оформления;
2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.
Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.
Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:
\[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\]
\[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\]
Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.
Например, 28 можно представить в следующем виде:
\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end{align}\]
Аналогично представляем оставшиеся примеры:
\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end{align}\]
Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.
Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:
\[\begin{align}& {{28}^{2}} \\& 30-2 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{51}^{2}} \\& 50+1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{42}^{2}} \\& 40+2 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{77}^{2}} \\& 80-3 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{21}^{2}} \\& 20+1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{26}^{2}} \\& 30-4 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{39}^{2}} \\& 40-1 \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{81}^{2}} \\& 80+1 \\\end{align}\]
Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.
Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.
Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
И так со всеми числами, отличающимися на единицу.
Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:
\[\begin{align}& {{26}^{2}}=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end{align}\]
При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.
Ключевые моменты
С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!
Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:
\[\begin{align}& {{10}^{2}}=100,{{20}^{2}}=400,{{30}^{2}}=900,..., \\& {{80}^{2}}=6400,{{90}^{2}}=8100. \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{34}^{2}}={{(30+4)}^{2}}={{30}^{2}}+2\cdot 30\cdot 4+{{4}^{2}}= \\& =900+240+16=1156; \\\end{align}\]
\[\begin{align}& {{27}^{2}}={{(30-3)}^{2}}={{30}^{2}}-2\cdot 30\cdot 3+{{3}^{2}}= \\& =900-180+9=729. \\\end{align}\]
Как считать еще быстрее
Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:
\[\begin{align}& {{14}^{2}}={{15}^{2}}-14-15= \\& =225-29=196. \\\end{align}\]
Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:
\[\begin{align}& {{31}^{2}}={{30}^{2}}+30+31= \\& =900+61=961. \\\end{align}\]
Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:
\[\begin{align}& {{(n-1)}^{2}}=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1)= \\& =={{n}^{2}}-n-(n-1) \\\end{align}\]
— это и есть формула.
\[\begin{align}& {{(n+1)}^{2}}=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1)= \\& ={{n}^{2}}+n+(n+1) \\\end{align}\]
— аналогичная формула для чисел, больших на 1.
Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!
Как известно, площадь прямоугольника вычисляется перемножением длин двух его различных сторон. У квадрата все стороны равны, поэтому нужно перемножить сторону саму на себя. Отсюда и возникло выражение "возвести в квадрат". Пожалуй, самый простой способ возвести любое число в квадрат – взять обычный калькулятор и перемножить нужное число само на себя. Если под рукой нет калькулятора – можно использовать встроенный калькулятор в мобильном телефоне. Для более продвинутых пользователей можно посоветовать воспользоваться приложением Office Microsoft Excel, особенно, если подобные вычисления нужно проводить достаточно часто. Для этого необходимо выделить произвольную ячейку, например G7, и вписать в нее формулу =F7*F7. Далее в ячейку F7 ввести любое число, а в ячейке G7 получить результат.
Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 5. Для возведения в квадрат этого числа нужно отбросить последнюю цифру числа. Полученное число необходимо перемножить с числом на 1 большим. Затем нужно дописать число 25 справа после полученного результата. Пример. Пусть требуется получить квадрат числа 35. После того, как будет отброшена последняя цифра 5, остается число 3. Добавляется 1- получается число 4.3х4=12. Дописывается 25 и получается результат 1225. 35х35=3*4 дописать 25=1225.
Как возвести в квадрат число, последняя цифра которого 6. Этот алгоритм подойдет для тех, кто разобрался с вопросом, как возвести в квадрат число, оканчивающиеся на цифру 5. Как известно из математики, квадрат двучлена можно рассчитать по формуле (А+В) х(А+В) =АхА+2хАхВ + ВхВ. В случае с возведением в квадрат числа A, последняя цифра которого 6, это число можно предтставить как А=В+1, где В - число, которое на 1 меньше числа А, поэтому его последняя цифра - 5. В этом случае формулу можно представить в более простом виде (В+1) х(B+1) =ВхВ+2хВх1+1х1=ВхВ + 2хВ+1. Пусть для примера это число будет 16. Решение 16 х16=15 х15+2х15 х1+1х1=225+30+1=256Устное правило: для того, чтобы найти квадрат числа, заканчивающегося на 6: нужно предыдущее число возвести в квадрат, добавить два раза предыдущее число и добавить 1.
Как возвести в квадрат числа от 11 до 29. Для возведения в квадрат чисел от 11 до 19, нужно к исходному числу добавить число единиц, получившийся результат умножить на 10 и приписать справа возведенное в квадрат число единиц. Пример. Возвести в квадрат 13. Число единиц в этом числе – 3. Далеетребуется вычислить промежуточное число 13+3=16. Затем умножить его на 10. Получается 160. Квадрат числа единиц 3х3=9. Итоговый результат 169. Для чисел третьего десятка применяется аналогичный алгоритм, только умножать нужно на 20 и квадрат единиц прибавлять, а не приписывать. Пример. Вычислить квадрат числа 24. Находится число единиц – 4. Вычисляется промежуточное число – 24+4=28. После умножения на 20 получается 560. Квадрат числа единиц 4х4=16. Итоговый результат 560+16=576.
Как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Алгоритм достаточно прост. Сначала нужно найти, насколько данное число больше или меньше середины диапазона числа 50. К полученному результату добавить (если число больше 50) или вычесть (если число меньше 50) 25. Полученную сумму (или разность) умножить на 100. К полученному результату добавить квадрат разности между числом, квадрат которого нужно найти, и числом 50. Пример: нужно найти квадрат числа 46. Разность 50-46=4.5-4=1.1х100=0.4х4=6.0+16=2116. Итог: 46х46=2116.
Еще один прием как возвести в квадрат числа от 40 до 60. Для того, чтобы вычислить квадрат числа от 40 до 49, необходимо число единиц увеличить на 15, полученный результат умножить на 100, справа от него приписать квадрат разности между последней цифрой заданного числа и 10. Пример. Вычислить квадрат числа 42. Число единиц этого числа - 2. Добавляется 15: 2+15=17. Находится разность этого же числа единиц и 10. Она равна 8. Возводится в квадрат: 8х8=64. Число 64 приписывается справа к предыдущему результату 17. Получается итоговое число 1764. Если число находится в диапазоне от 51 до 59, то для возведения его в квадрат используется тот же алгоритм, только к числу единиц нужно прибавлять 25.
Как возводить в квадрат в уме любое двузначное число. Если человек знает, как возводить в квадрат однозначные числа, другими словами - знает таблицу умножения, то у него не возникнет проблем при вычислении квадратов двузначных чисел. Пример. Нужно возвести двузначное число 36 в квадрат. Это число умножается на количество своих десятков. 36х3=8. Далее нужно найти произведение цифр числа: 3х6=18. Затем сложить оба результата. 108+18=126. Следующий шаг: нужно возвести в квадрат единицы исходного числа: 6х6=36. В полученном произведении определяется количество десятков – 3 и добавляется к предыдущему результату: 126+3=129. И последний шаг. Справа от полученного результата приписывается количество единиц исходного числа, в данном примере - 6. Конечный результат – число 1296.
Существует множество способов как возводить в квадрат различные числа. Некоторые из приведенных алгоритмов достаточно простые, некоторые – достаочно громоздкие и на первый взгляд непонятные. Многими из них люди пользуются веками. Каждый человек может сам разработать свои собственные более понятные и интересные алгоритмы. Но если есть проблемы с устным счетом или возникли другие трудности – придется привлечь технические средства.
Мы привыкли думать, что возведение дома - это длительный и дорогостоящий процесс. Иногда он растягивается на годы, превращаясь в долгострой, выкачивающий все средства из семейного бюджета. Об этом мы рассказывали в материале, . Но в жизни бывают ситуации, когда построить дом надо быстро и за минимальную сумму.
Кажется, что это или невозможно, или придётся серьёзно поступиться качеством возводимого сооружения. Но на нашем портале есть масса примеров, когда начинающие застройщики опровергали это утверждение. Главное - обстоятельно подойти к делу, подготовить все для постройки дома и выбрать правильную и посильную для себя технологию строительства.
Из этой статьи вы узнаете:
- Какие новые материалы для дома и новые технологии чаще всего используют для быстрого строительства загородного дома.
- Дома из разных материалов, построенные в короткие сроки.
- Материал для строительства дома в короткие сроки.
- Из чего класть стены дома. Как быстро построить каменный дом.
- Какую же стену выбрать для индивидуального дома. Почему так популярно возведение домов по каркасной технологии.
- Постройка дома из современных материалов. Почему строительство из СИП-панелей упрощает возведение коттеджа.
- В чём заключаются плюсы свайно-винтового фундамента и технологии несъёмной опалубки.
- Какие принципы ускоряют возведение строения.
Материал для строительства дома - что выбрать
Возведение загородного коттеджа, долговечного отвечающего всем строительным нормам, должно начинаться с тщательно разработанного плана. Необходимо заранее просчитать смету, выбрать технологию возведения и лучший строительный материал для строительства дома. Также следует учитывать климатические условия места, где будет вестись строительство, и свойства грунта. Только после сбора всех необходимых данных можно выбрать наиболее рациональные, быстрые и экономически выгодные способы строительства.
Материал для стен дома. Что выбрать - дерево, панели или класть из камня.
Причём, данный принцип вдвойне важен при необходимости быстрого возведения постройки, т.к. любая ошибка или заминка приведёт к срыву сроков строительства. Если рассмотреть общие принципы выбора технологии для ускоренного возведения строения, то отправной точкой является гарантированное качество материалов, строго заданная геометрия, простота и технологичность при их монтаже, а также доступность.
Отсюда, для быстрой кладки материал для стен дома выбираем заводского изготовления. Технические характеристики должны гарантированно отвечать заявленным требованиям. Попытка сэкономить и использовать разные кустарно произведённые материалы т.н. гаражного изготовления - лотерея, без гарантий получения качественного результата.
Строительство дома - выбор материала для самостройщиков и строительных фирм
Если планируется выбрать самый долговечный материал и быстро построить полный достоинства каменный дом, то следует использовать крупноформатные блоки с чёткой геометрией, хорошо поддающиеся механической обработке (пилению, штроблению, сверлению) на строительной площадке. Такой материал проще и быстрее класть.
Дерево как материал стен для частного особняка или дачного дома выбирают поклонники каркасной технологии. В этом случае на первое место выходит простота работы, а значит - высокая скорость строительства, минимизация использования строительной техники (т.к. поставить деревянный каркас можно даже в одиночку), широкая доступность и то, что древесина достаточно дешевый материал.
Если каркасное строительство - выбор самостройщиков, планирующих в максимально сжатые сроки индивидуально поставить коробку дома, то долговечные крупноформатные панели заводского изготовления (СИП и т.д.) предпочитают использовать застройщики, возводящие постройку при помощи строительных компаний.
У каждого из этих способов есть свои разные особенности, но об этом – чуть позже.
Особенности быстрого строительства каменного дома
Опыт пользователей FORUMHOUSE говорит о том, что путь к «быстрому дому» у каждого свой, но можно выделить несколько ключевых моментов, общих для всех индивидуальных застройщиков. В первую очередь - это отсутствие собственного жилья, дороговизна квадратных метров в новостройках и нежелание выбрасывать деньги на ветер, беря квартиру в аренду.
Владимир Егоров (ник Bobahina) Пользователь FORUMHOUSE
Семья у меня молодая - я, жена и двое маленьких детей. Своего жилья нет, поэтому пришлось жить на съёмных квартирах. Я как-то посчитал, что за 5 лет «кочевой» жизни мы потратили на аренду (фактически подарили «дяде») 1 млн руб. Поэтому после очередного переезда я принял твёрдое решение - хватит скитаться, надо обзаводиться собственным углом.
Сведя дебит с кредитом, Владимир рассчитал, что, взяв в кредит 1-1.5 млн руб., выгоднее построить дом, а не вкладываться в ипотеку. После того, как большое решение было принято, осталось выбрать технологию строительства, которая позволит с «0» быстро возвести коттедж, готовый для переезда семьи. Проанализировав, «сколько стоит дом построить», Владимир решил разбить стройку на несколько этапов и выбрать материал для несущих стен, который оптимально подойдёт для самостоятельного строительства.
Забегая вперёд, скажем, что нашему пользователю удалось осуществить свою мечту: в максимально сжатые сроки возвести дом размером 10х7.5 м и подготовить первый этаж под ПМЖ. Причём, в качестве строительного материала был выбран газобетон. Стоит отметить, что земельный участок Владимиру предоставил его отец, что стало одним из решающих факторов успеха этой стройки.
Также заметим, что каменный дом был фактически построен силами одного человека за 6 месяцев. В случае использования наёмного труда - бригады из нескольких человек, эти сроки можно было сократить в 2-3 раза, но при увеличении стоимости возводимой конструкции. Поэтому, задумав быстрое строительство, всегда приходится идти на компромисс: скорость/смета, а также выбирать - строить полностью самостоятельно (для этого нужно время) или работать и всё это время контролировать стройку.
Высокой скорости возведения дома способствует наличие всех видов необходимых коммуникаций на участке - свет и вода, а также грамотное планирование каждого строительного этапа и выбор современной технологии.
Строя каменный дом, надо постараться свести к минимуму «мокрые» процессы и оптимизировать все технологические этапы.
Каркасная технология строительства
Современный строительный опыт говорит о том, что значительно ускорить процесс строительства можно, используя отработанную технологию, уже прошедшую обкатку временем. При условии, что это решение эффективно для конкретного региона проживания. Т.е. выбранный материал для стен распространён в местности, где вы проживаете, и не является дефицитом, а строительные бригады знают, как с ним работать и уже «набили руку». В этом случае, при должном контроле, можно гарантировать получение качественного результата.
В случае, если нужно возвести дом быстро и не разориться, многие застройщики выбирают возведение домов по каркасной технологии строительства, как наиболее рациональной для самостроя.
Ufonru Пользователь FORUMHOUSE
У меня есть участок в 6 соток в СНТ под Питером. Решил построить на нём дом. Осталось выбрать технологию, чтобы можно было строить одному в свободное время, быстро и качественно. Причём уложиться в 400 тыс. руб.
В итоге перелопачивания информации Ufonru остановил свой выбор на «каркасниках». Нашему пользователю удалось в одиночку, за 80 дней, построить тёплый дом стоимостью в 350 тыс. руб, с мансардой и чистовой отделкой, размером 6х10 м.
В плюсы «каркасников» можно записать: возможность вести практически круглогодичное строительство, материал предусматривает минимум «мокрых» процессов (требующих времени и хороших погодных условий), отработанность технологии и высокую скорость строительства.
Надо сразу сказать, что Ufonru обстоятельно подошёл к делу. Для минимизации отходов габариты дома были рассчитаны, исходя из размеров плит ОСП, досок, гипсокартона, утеплителя и т.д. Это позволило использовать всю их полезную площадь, без остатков и сэкономить время на раскрое материала .
В качестве фундамента был выбран мелкозаглубленный ленточный фундамент, причём для опалубки выбрали доски размером 100х50 мм, которые затем все до одной пошли на стойки каркаса и обвязку без последующего подрезания. А это дополнительная скорость и экономия материалов.
Используя принцип оптимизации, только цену фундамента под этот дом удалось снизить до 65 тыс. руб.
Нюансы строительства дома из СИП-панелей и сроки возведения свайно-винтового фундамента
В погоне за скоростью возведения коттеджа многие начинающие застройщики наивно полагают, что дом – это коробка из стен со вставленными окнами и дверьми. На самом деле - это не так. Жить в доме можно при наличии минимума коммуникаций - т.н. инженерки. Это - электричество, канализация и вода.
Посмотрите, как самостоятельно, за полгода, построить газобетонный дом под ПМЖ . Из нашего видео вы также узнаете о
В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.
Навигация по странице.
Что значит «возведение в степень»?
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Определение.
Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Возведение числа в натуральную степень
На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .
Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.
Пример.
Вычислите значение степени .
Решение.
Покажем два способа решения.
Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: 
.
Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства 
. Теперь извлекаем корень 
, наконец, возводим в целую степень 
.
Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.
Ответ:
Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.
Пример.
Вычислите (44,89) 2,5 .
Решение.
Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): 
. Теперь выполняем возведение в дробную степень:
Ответ:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.
В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем 
, а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, 
. А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3
.
Возведение в иррациональную степень
Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.
Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.
В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).