Уравнения содержащие параметр.
Урок 2: Расположение корней квадратного уравнения в зависимости
от параметра.
Цель: Формировать умение распознавать положение параболы в
зависимости от ее коэффициентов.
I.
Объяснение нового материала.
Ход урока
Решение многих задач с параметрами, предлагаемых на экзаменах, в
частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно
формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие
различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на
числовой оси.
Рассмотрим пример: найдите все значения параметра с, при которых оба
меньше, чем – 1.
1
2). Теперь нужно
Уравнение имеет два различных корня при D > 0 (с >
составить систему уравнений когда х1>−1 и х2>−1 . Ее будет
достаточно сложно решить.
Для решения заданий такого типа существует специальный метод.
Сначала рассмотрим квадратичную функцию f(x) = ax2+bx+c,a≠0.
Запишем ее в виде f(x)=a(x+ b
2a)
Вспомним основные характеристики параболы, позволяющие построить ее
график. При решении заданий с параметрами эти характеристики
применяются в другом контексте.
+ 4ac−b2
4a
2
.
1. Прямая x=−b
2a – ось параболы, которая является одновременно
осью ее симметрии. Вершиной параболы является точка (
−b
2a
;4ac−b2
4a).
2. Знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если а >
0, то вверх, если а < 0, то вниз.
3. Дискриминант D=b2−4ac показывает, пересекается ли парабола с
осью абсцисс.
Объединим вышесказанное в таблице:
Расположение графика по отношению к оси абсцисс в зависимости от
знаков коэффициента а и дискриминанта.
а > 0
а < 0
D > 0
D = 0
D < 0
Утверждение 1: Оба корня меньше числа А, то есть х1 < А и х2 < А тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0
или { D>0,
a<0,
x0
Утверждение 2: Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1 <
А < х2 , тогда и только тогда, когда { a>0,
системы можно заменить формулой a⋅f(A)<0.
f(A)<0 или { a<0,
f(A)>0.
Эти две
Утверждение 3: Оба корня больше числа А, то есть х1 > А и х2 > А, тогда
и только тогда, когда { D>0,
a>0,
x0>A,
f(A)>0
или { D>0,
a<0,
x0>A,
f(A)<0.
Утверждение 4: Оба корня лежат между точками А и В, то есть А < х1 <
a<0,
А<х0<В,
f(A)<0,
f(В)<0.
a>0,
А<х0<В,
f(A)>0,
f(В)>0
В и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { D>0,
> х2 и А < х1 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
> х2 и А < х2 < В, тогда и только тогда, когда { a>0,
или { D>0,
f(В)>0 или { a<0,
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)<0
f(A)>0,
f(В)<0.
f(A)<0,
f(В)>0.
f(A)<0,
Утверждение 5: Больший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 6: Меньший корень лежит между точками А и В, то есть х1
Утверждение 7: Корни лежат по разные стороны от отрезка
есть х1 < А < В < х2, тогда и только тогда, когда { a>0,
f(A)<0,
f(В)<0
или { a<0,
f(A)>0,
f(В)>0.
[А;В]
, то
Вернемся к примеру1: найдите все значения параметра с, при которых оба
корня квадратного уравнения х2+4сх+(1−2с+4с2)=0 различны и
меньше, чем – 1. (Для решения необходимо воспользоваться утверждением
1.)
Пример 2: При каких действительных значениях k оба корня (в том числе
кратных) уравнения (1 + k)х2 – 3kх + 4k = 0 больше 1? (Для решения
необходимо воспользоваться утверждением 3.)
II. Закрепление пройденного материала. Практическая работа в
группах.
1 группа:
1. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2х2
1
2 х + (k – 3)(k + 5) = 0?
–
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0
лежат в интервале (0; 3)?
2 группа:
1. При каких значениях k число 3 находится между корнями уравнения х2
+
х + (k – 1)(k + 7) = 0?
2. Существуют ли такие значения параметра а, что корни уравнения х2 +
2х + а = 0 лежат между – 1 и 1?
3 группа:
1. Найдите множество значений параметра k, при число 2 находится
между корнями уравнения 9х2 – 6х – (k – 2)(k + 2) = 3.
2. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а – 1)х2 – (а +
1)х + а = 0 имеет единственное решение удовлетворяющее условию 0 <
x < 3?
III. Домашняя работа.
1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 4)х2 – 2(а +
2)х + 3(а + 6) = 0 положительны?
2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 3)х2 – 3(а –
4)х + 4а – 16 = 0 принадлежат интервалу (2; 5)?
3. При каких значениях параметра а один из корней уравнения 2ах2 – 2х –
3а – 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1?
Квадратные уравнения с параметрами
(Методическая разработка для учащихся 9-11 классов)
учитель математики высшей квалификационной категории,
заместитель директора по УВР
Мегион 2013
Предисловие
https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2.Применение теоремы Виета
Научные работы" href="/text/category/nauchnie_raboti/" rel="bookmark">научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы учащихся. На ЕГЭ по математике (часто задания С5), ГИА (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся; трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами, следовательно, учащиеся должны специально готовиться к «встрече с параметрами». Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но это постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.
Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью – с помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности , а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза.
Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется работать с тремя типами моделей:
1. вербальная модель – словесное описание задачи;
2. геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Приведены подробные решения 15 задач с методическими рекомендациями . Назначение данного пособия – помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА по математике, и вступительного экзамена в вуз в виде теста или в традиционной форме.
https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - лежит правее прямой х = n (условие xb>n);
3. парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а<0 (условие a∙f(n) >0).
https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="153" height="43 src=">
Теорема 10. Квадратные уравнения х2 + p1x + q1 = 0 и x2 + p2x + q2 = 0,
дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).
Доказательство.
Пусть f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 и числа х1, х2 являются корнями уравнения f1(x) = 0. Для того чтобы уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f1(x)∙f2(x) = 0, т. е. чтобы (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0. Представим последнее равенство в виде
(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.
Поскольку х12 + p1x1 + q1 = 0 и x22 + p1x2 + q1 = 0, отсюда получаем
((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, т. е.
(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.
По теореме Виета x1 +x2 = - p1 и x1x2 =q1; следовательно,
(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, или
(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =
(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), что и требовалось доказать.
https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">
Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0
1) имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
;
2) имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
;
3) имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
;
4) имеет два действительных корня одного знака, если
Замечание 1. Если коэффициент при х 2 содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
Замечание 2. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то вначале удобней найти явные выражения для его корней.
Замечание 3. Если уравнение, содержащее несколько неизвестных, является квадратным относительно одной из них, то часто ключом к решению задачи служит исследование его дискриминанта.
Приведем схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f (x ) = ax 2 + bx + c :
1.Исследование случая а = о (если первый коэффициент зависит от параметров).
2.Нахождение дискриминанта D в случае а≠0.
3.Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение условиям задачи.
4..png" width="13" height="22 src=">3. Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике
Пример 1. Решите уравнение (a - 2)x 2 – 2ax + 2a – 3 = 0.
Решение.
Рассмотрим два случая: а = 2 и а ≠ 2. в первом случае исходное уравнение принимает вид - 4х
+ 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">
При а = 1 или а = 6 дискриминант равен нулю и квадратное уравнение имеет один корень: , т. е. при а = 1 получаем корень 
, а при а = 6 – корень .
При 1 < a
< 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х
= -1; при 
уравнение имеет два корня 
; при а
= 2 уравнение имеет единственный корень ; при а
= 6 уравнение имеет единственный корень .
Пример 2. При каком значении параметра а уравнение (а - 2)х 2 + (4 – 2а )х + 3 = 0 имеет единственный корень?
Решение . Если а = 2, то уравнение превращается в линейное∙х + 3 = 0; которое не имеет корней.
Если а ≠ 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D .
D = 0 при а 1 = 2 и a 2 = 5. Значение а = 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.
Ответ : а = 5.
4.
(а - 1)х 2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а ≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта
D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х 1∙х 2 > 0, т. е..png" width="149" height="21 src=">.С учетом условий D ≥ 0 и а ≠ 1 получим https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.
Пример 3. Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе
И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе
Решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+а-11
Графиком является парабола.
Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.
Y
(x
)
X 1 -1 0 3 x 2 x
Y (-1)
Y (3)
При этих условиях Д>0, так как ветви параболы направлены вверх.
Ответ: а 
Общий случай № 6.
При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена находятся вне заданного интервала (k ; m ), т.е. х 1 < k < m <х 2 .
х 2 -(2а+1)х+4-а=0 лежат по разные стороны числа от числа 3?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х 2 -(2а+1)х+4-а.
Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Изобразим геометрическую модель задачи.
X 1 3 x 2 x
Y (3)
Перейдем от геометрической модели к аналитической.
Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 автоматически. +вх+с меньше некоторого числа к: х 1 ≤ х 2 <к
3. При каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежат интервалу (к,т) к<х 1 ≤х 2 <т
4. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного трехчлена ах 2 +вх+с принадлежит заданному интервалу (к,т),т.е.к<х 1 <т<х 2
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Корни квадратного уравнения х 2 -4х-(а-1)(а-5)=0, больше чем 1.
Ответ: 2<а<4
Корни квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0, меньше чем 1.
Ответ:
-0,5<а<2
Корни квадратного уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежат интервалу (0;3).
Ответ: 1≤а< 9 / 5
Только меньший корень уравнения х 2 -2ах+а=0, принадлежит интервалу (0;3).
Ответ: 1≤а< 9 / 5
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
1.Изобразить геометрическую модель данной задачи.
2. Записать систему условий, к которой сводится решение данной задачи
Только больший корень уравнения х 2 +4х-(а+1)(а+5)=0, принадлежит промежутку [-1;0).
Ответ:(-5;-4]U[-2;-1)
Отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения х 2 -(2а+1)х+а-11=0.
Ответ:-1 <а<3
Корни квадратного уравнения х 2 -2(а+1)х+4-а=0, лежат по разные стороны от числа 3.
Ответ( 10 / 7 ;∞)
Спасибо за урок ребята!
Квадратный трехчлен - основная функция школьной математики - между прочим, не самая примитивная. Умение использовать предоставляемые им ресурсы для решения задач в большой степени характеризует уровень математического мышления изучающего школьную алгебру. В данной работе дается обоснование этого тезиса и приведены примеры конкретного применения свойств квадратичной функции. Стимулирующим фактором является то обстоятельство, что при решении какой бы то ни было задачи с параметрами рано или поздно приходится (и удается) задачу переформулировать в терминах квадратного трехчлена и решить ее с привлечением свойств этой универсальной функции.
Исследование квадратного трехчлена
Определение . Квадратным трехчленом относительно переменной x называется выражение вида f(x) = ax 2 + bx + c (1), где a, b, cR, a0.
Квадратный трехчлен - обычный многочлен степени 2. Спектр вопросов, формулируемых в терминах квадратного трехчлена, неожиданно оказывается чрезвычайно широким. Поскольку задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена, занимают традиционно почетное и видное место в письменных выпускных школьных и вступительных вузовских экзаменах, очень важно научить школьника (будущего абитуриента) неформальному (то есть творческому) владению разнообразными приемами и методами такого исследования. В данной методической разработке фиксируются основные утверждения о квадратном трехчлене (теорема Виета, расположение корней относительно заданных точек числовой оси, техника обращения с дискриминантом), решаются задачи различных типов и разных уровней сложности. Главный идеологический вывод заключается в том, что в школьной математике существуют насыщенные глубоким содержанием фрагменты, доступные учащемуся и не требующие привлечения средств математического анализа и иных разделов так называемой “высшей математики”.
Графиком трехчлена (1) является парабола; при a 0 - вверх. Расположение параболы относительно оси Ox зависит от значения дискриминанта D = b 2 - 4ac: при D>0 имеются две точки пересечения параболы с осью Ox (два различных действительных корня трехчлена); при D=0 - одна точка (двукратный действительный корень); при D 0 - выше оси Ox). Стандартным приемом является следующее представление трехчлена (с помощью выделения полного квадрата):
f(x) = ax 2
+ bx + c =
=
.
Это представление позволяет легко
строить график посредством линейных
преобразований графика функции y=x 2 ;
координаты вершины параболы:
.
Это же преобразование позволяет
сразу решить простейшую задачу на
экстремум: найти наибольшее (при a 0) значение функции
(1); экстремальное значение достигается
в точке
и равно
.
Одно из основных суждений о квадратном трехчлене –
Теорема 1 (Виета) . Если x 1 , x 2 - корни трехчлена (1), то
(формулы Виета).
С помощью теоремы Виета можно решать многие задачи, в частности, те, в которых требуется сформулировать условия, определяющие знаки корней. Две следующие теоремы являются непосредственными следствиями теоремы Виета.
Теорема 2 . Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
D = b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 = > 0,
при этом оба корня положительны при x 1 + x 2 = > 0,
и оба корня отрицательны при x 1 + x 2 =
Теорема 3 . Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 =
при этом положительный корень имеет больший модуль при x 1 + x 2 = > 0,
и отрицательный корень имеет больший модуль при x 1 + x 2 =
Доказываемые ниже теоремы и следствия эффективно могут (и значит, должны) применяться при решении задач с параметрами.
Теорема 4 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были меньше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат левее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
,
или, объединяя условия,
(рис. 1,а и 1,б).
Доказательство .
Необходимость
.
Если трехчлен (1) имеет действительные
корни x 1 и
x 2 (может
быть, совпадающие), x 1
x 2 и x 1
,
(x 1 - M) (x 2
- M) > 0, x 1 +
x 2 0, M >
(x 1 + x 2)/2.
По формулам Виета
,
поэтому
,
или
,
ч.т.д.
Достаточность
- противоречие с условием. Если же
,
то (x 1 - M)(x 2
- M)0,
x 1 x 2
- (x 1 + x 2)M
+ M 2
0, откуда
,
af(M)
0
- вновь противоречие с условием; остается
только возможность x 1
Теорема 5 . Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M, то есть точка M лежала бы в интервале между корнями, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
,
или, объединяя условия, af(M)
(рис. 2,а и 2,б).
Доказательство .
Необходимость
.
Если трехчлен (1) имеет действительные
корни x 1 и
x 2 , x 1 M , то (x 1
- M)(x 2 -
M),
поэтому
,
или af(M)
Достаточность . Пусть af(M) , или , , тогда (x 1 - M)(x 2 - M)0,
x 1 x 2
- (x 1 +
x 2)M + M 2
0, откуда
,
af(M)0
- противоречие с условием; остается
только возможность
,
что и требуется доказать. Теорема
доказана.
Теорема 6 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат правее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
,
или, объединяя условия,
(рис. 3,а и 3,б).
Доказательство . Необходимость . Если трехчлен (1) имеет действительные корни x 1 и x 2 (может быть, совпадающие), x 1 x 2 и x 1 > M, x 2 > M , то , (x 1 -M)(x 2 -M)>0, x 1 + x 2 > 2M; иначе x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M , поэтому , или , ч.т.д.
Достаточность
.
Пусть
.
Рассуждаем от противного. Предположим,
что
,
,
тогда
- противоречие с условием. Если же
,
то (x 1 - M)(x 2
- M)0,
x 1 x 2
- (x 1 + x 2)M
+ M 2
0, откуда
,
af(M)
0
- вновь противоречие с условием; остается
только возможность x 1 >
M, x 2 > M, что
и требуется доказать. Теорема доказана.
Следствие 1 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M
,
или, объединяя условия,
(рис. 4,а и 4,б).
Следствие 2 . Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M
,
или, объединяя условия,
меньший корень при этом лежит вне отрезка
(рис. 5,а и 5,б).
Следствие 3 . Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M
,
или, объединяя условия,
;
больший корень при этом лежит вне отрезка
(рис. 6,а и 6,б).
Следствие 4 . Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M
,
или, объединяя условия,
(рис. 7,а и 7,б).
Разумеется, аналитическая и геометрическая интерпретации результатов теорем 4-6 и следствий 1-4 эквивалентны, и стратегической целью является выработка навыков точного перевода с одного языка на другой. Особенно важно продемонстрировать, как “визуализация” (“графический взгляд”) помогает безошибочно записать формальные условия, необходимые и достаточные для выполнения требований задачи.
Укажем типичные задачи, решаемые с помощью доказанных теорем (более общо - решаемые на основании свойств квадратного трехчлена).
Задача 1 . Найдите все значения a, при которых уравнения x 2 +ax+1=0 и x 2 +x+a=0 имеют хотя бы один общий корень.
Решение . Оба уравнения имеют в точности одинаковые корни в том и только том случае, если коэффициенты соответствующих квадратных трехчленов совпадают (многочлен второй степени полностью определяется двумя своими корнями и при этом соответственные коэффициенты этих многочленов равны), отсюда получаем a=1. Однако, если учитывать только действительные корни, то при a=1 таковых нет (дискриминант соответствующего трехчлена отрицателен). При a1 рассуждаем так: если x 0 - корень обоих уравнений f(x)=0 и g(x)=0, то x 0 будет корнем уравнения f(x)-g(x)=0 (это только необходимое, но не достаточное условие существования общего корня двух уравнений f(x)=0 и g(x)=0, так как уравнение f(x) - g(x)=0 является их следствием ); вычтем из первого уравнения второе, и получим
(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, откуда, поскольку a1, x=1. Таким образом, если заданные уравнения имеют общий корень, то он равен 1 . Подставим x = 1 в первое уравнение: 1 + a + 1 = 0, и a = -2.
Ответ . a = -2.
Задача 2 . При каких a сумма квадратов корней уравнения x 2 - ax + a – 1 = 0 будет наименьшей?
Решение . По теореме Виета , x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Имеем:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 +x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 и =1 при a=1.
Ответ . a = 1.
Задача 3 . Существуют ли такие a, что корни многочлена f(x)=x 2 +2x+a действительны, различны и оба заключены между -1 и 1?
Решение
. Для того,
чтобы оба корня x 1
и x 2 трехчлена
f(x) были заключены между -1 и 1, необходимо,
чтобы между -1 и 1 было заключено среднее
арифметическое этих корней:
;
но, по теореме Виета
,
,
поэтому
Ответ . Нет.
Задача 4 . При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения x 2 +(2a+6)x + 4a + 12 = 0 действительны и оба больше -1?
Решение . Теорема 6 дает:
,
,
,
.
Ответ . .
Задача 5 . При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 действительны и оба меньше -1?
Решение . Теорема 4 дает:
,
,
,
a>1.
Ответ . a > 1.
Задача 6 . При каких значениях параметра a один корень квадратного уравнения f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 больше 3, а другой меньше 2?
Решение . Заметим сразу, что a2 (иначе уравнение имело бы только один корень). Применим следствие 4 (здесь M=2, N=3):
,
,
,
2
.
Оба корня положительны при
(теорема 6
),
откуда
и
;
(теорема 4
) -
эта система решений не имеет; корни
имеют разные знаки при (a-1)(a+5) теорема
5), то есть -5
,
,
если 1-p+q=0. При этом второй корень равен
x 2 =1-p; значит,
если
,
то уравнение sin 2 t
+psint+q=0 (4) имеет еще, кроме указанных,
корни
(при p=2 обе серии корней совпадают).
,
если
,
то
,
а при p2 корней нет. Если p=2,
то q=1, x 2 +2x+1=0,
x=-1, t=,
а если p=-2, то x=1, t=.
.
.
.Изучение многих физических и геометрических
закономерностей часто приводит к решению задач с
параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и
их системы, которые часто бывают весьма сложными
и требующими нестандартного подхода к решению. В
школе же этот один из наиболее трудных разделов
школьного курса алгебры рассматривается только
на немногочисленных факультативных или
предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод
является удобным и быстрым способом решения
уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с
параметрами встречаются две постановки задачи.
- Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
- Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.
В данной работе рассматривается и
исследуется задача второго типа применительно к
корням квадратного трехчлена, нахождение
которых сводится к решению квадратного
уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет
учителям при разработке уроков и при
подготовке учащихся к ЕГЭ.
1. Что такое параметр
Выражение вида aх
2 + bх + c
в
школьном курсе алгебры называют квадратным
трехчленом относительно х,
где a, b,
c –
заданные действительные числа, причем, a
=/= 0.
Значения переменной х, при которых выражение
обращается в нуль, называют корнями квадратного
трехчлена. Для нахождения корней квадратного
трехчлена, необходимо решить квадратное
уравнение aх
2 + bх + c =
0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные
уравнения aх + b =
0;
aх2 + bх + c = 0.
При поиске их корней, значения
переменных a, b, c,
входящих в уравнение
считаются фиксированными и заданными. Сами
переменные называют параметром. Поскольку, в
школьных учебниках нет определения параметра, я
предлагаю взять за основу следующий его
простейший вариант.
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
2. Основные типы и методы решения задач с параметрами
Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.
- Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
- Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
- Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых
корни уравнения (a –
2)х
2
–
2aх
+ a +
3 =
0
положительные.
Основные способы решения задач с параметром:
аналитический и графический.
Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача № 1
При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?
Решение
х
2 –
2aх + a
2 –
1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два
различных корня, а это возможно лишь при условии:
Д > 0.
Имеем: Д = 4a
2 – 2(а
2 – 1) = 4.
Как видим дискриминант не зависит от а,
следовательно, уравнение имеет два различных
корня при любых значениях параметра а. Найдем
корни уравнения: х
1 = а
+ 1, х
2
= а
– 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку
(1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а
< 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Ответ: 2 < а
< 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого
типа возможен и рационален в тех случаях, когда
дискриминант квадратного уравнения «хороший»,
т.е. является точным квадратом какого либо числа
или выражения или корни уравнения можно найти по
теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не
представляют собой иррациональных выражений. В
противном случае решения задач такого типа
сопряжено с достаточно сложными процедурами с
технической точки зрения. Да и решение
иррациональных неравенств требует от ученика
новых знаний.
Графический
– это способ, при котором
используют графики в координатной плоскости (х;у)
или (х;а). Наглядность и красота такого способа
решения помогает найти быстрый путь решения
задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного
уравнения (квадратного трехчлена) являются
нулями соответствующей квадратичной функции: У = х
2
– 2ах
+ а
2 – 1. Графиком функции
является парабола, ветви направлены вверх
(первый коэффициент равен 1). Геометрическая
модель, отвечающая всем требованиям задачи,
выглядит так.
Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.
- Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
- Вершина параболы находится между вертикальными
прямыми х
= 1 и х
= 5, следовательно
абсцисса вершины параболы х о принадлежит
промежутку (1; 5), т.е.
1 <х о < 5. - Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.
Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.
Ответ: 2 < а < 4.
Как видно из примера, графический способ
решения задач рассматриваемого типа возможен в
случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат
параметр под знаком радикала (в этом случае
дискриминант уравнения не является полным
квадратом).
Во втором способе решения мы работали с
коэффициентами уравнения и областью значения
функции у
= х
2 – 2ах
+ а
2
– 1.
Такой способ решения нельзя назвать только
графическим, т.к. здесь приходится решать систему
неравенств. Скорее этот способ комбинированный:
функционально-графический. Из этих двух способов
последний является не только изящным, но и
наиболее важным, так как в нем просматриваются
взаимосвязь между всеми типами математической
модели: словесное описание задачи,
геометрическая модель – график квадратного
трехчлена, аналитическая модель – описание
геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни
квадратного трехчлена удовлетворяют заданным
условиям в области определения при искомых
значениях параметра.
А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?